双対 性 数学

Add: uxeluw65 - Date: 2020-12-11 22:15:44 - Views: 4569 - Clicks: 42

双対性は知りたい対象について特定の記述法を越えた深い構造を浮かび上がらせるため,数学や物理の最前線で活発に研究. 対称性も双対性(あるいは双対原理)と呼ばれる.英語 にすれば,duality of a theory となる5.また,よく知 られている電気回路網における双対性(Table 1) もこの 類の双対性である. 実体と特性数学における双対性の基本パターン. 最後に,確率分布が連続的であるときを考える.もちろん,直感的には,前述の離散的なものを無限に状態があると考え,同様なやりかたを行えば,同じようなことが言える.しかしながら,初めに言ったように,もっときれいな方法に挑戦する.連続分布$p_r$,$p_&92;&92;theta$および同時分布$&92;&92;pi(p_r, p_&92;&92;theta)$を考える.するとWasserstein距離は次のようになる. $$W(p_r, 双対 性 数学 p_&92;&92;theta) = &92;&92;inf_&92;&92;gamma &92;&92;in &92;&92;pi &92;&92;iint&92;&92;limits_x,y &92;&92;lVert x - y &92;&92;lVert &92;&92;gamma (x,y) &92;&92;, &92;&92;mathrmd x &92;&92;, &92;&92;mathrmd y = &92;&92;inf_&92;&92;gamma &92;&92;in &92;&92;pi &92;&92;mathbbE_x,y &92;&92;sim &92;&92;gamma &92;&92;left &92;&92;lVert x - y &92;&92;lVert &92;&92;right.

双対 性 数学 離散確率分布のみを考えれば,Wasserstein距離はEarth-Mover距離(EMD)ともよばれている.図1のような分布の違う確率密度分布を考え,これを土の山としてみると,EMDは,片方の確率分布の山をもう片方の確率分布の山に,土を輸送して変形させるための最小の労力である.ここで,輸送する労力とは,輸送する土の量と輸送する距離との積で定義される.2つある確率分布をそれぞれ $P_r$と $P_&92;&92;theta$とし,それぞれから起きうる事象の変数を$x$,$y$,事象の数を$l$個とする. EMDの上述の定義からわかるように,EMDを計算することそれ自体が最適化問題となっている.土を輸送して目的の形に変形する方法は無限の方法があるが,今ほしいのは最適な方法である.適切な土の輸送方法を求めるために,$&92;&92;gamma(x,y)$を定義する.これは,$P_r$を $P_&92;&92;theta$に変形するためにxからyへ土を輸送する量である(逆も然り). 輸送方法$&92;&92;gamma(x,y)$を有効な方法とするために, $&92;&92;sum_x &92;&92;gamma(x,y) = P_r(y)$ と$&92;&92;sum_y &92;&92;gamma(x,y) = P_&92;&92;theta(x)$が当然ながら制約されている必要がある.$&92;&92;gamma$は,同時確率として考えることができ,この場合制約は$&92;&92;gamma &92;&92;in &92;&92;Pi(P_r, P_&92;&92;theta)$となる.$&92;&92;Pi(P_r, P_&92;&92;theta)$は$x$,$y$による周辺分布がそれぞれ$P_r$と$P_&92;&92;theta$になるような同時確率分布の集合である.EMDを得るために,この同時確率$&92;&92;gamma(x,y)$と,$x$と$y$との距離の積のすべての組み合わせの総和を計算する必要がある.これに基づき,EMDの定義は,次のようになる: $$ &92;&92;mathrmEMD(P_r, P_&92;&92;theta) = &92;&92;inf_&92;&92;gamma &92;&92;in &92;&92;Pi 双対 性 数学 &92;&92;, &92;&92;sum&92;&92;limits_x,y &92;&92;Vert x 双対 性 数学 - y &92;&92;Vert &92;&92;gamma (x,y) = &92;&92;inf_&92;&92;gamma &92;&92;in &92;&92;Pi &92;&92; &92;&92;mathbbE_(x,y) &92;&92;sim &92;&92;gamma &92;&92;Vert x - y &92;&92;Vert $$ $&92;&92;inf$という記号に不慣れである方へ説明すると,$&92;&92;inf$はinfi. また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。 双対は 数学 や 物理学 をはじめとする多くの分野に表れる。 なお読みについて、双対を「そうたい」と読む流儀もあり「相対 (relative)」と紛らわしい。. 参考文献1ではマリアヴァン微分とスコロホッド積分の随伴性を「duality relationship(双対関係)」と呼ぶ箇所がある(p. 双対性は, 現在の数学の枠組みで捉えることのできる予想も提出しているのですが, それを話すことをやめて, 何か我々の感覚から見ると全く親しみがないものを話したい, その様に思いました.

また、凸多面体のトレンドとして、双対性と反射性などの現代数学の入り口にも触れていきます。 第1部 凸多面体の起源を探る 第1章 三角形分割と多角形 第2章 オイラーの多面体定理 第3章 ピックの公式 第2部 凸多面体の数え上げ理論. 双対問題 主問題の最適値⇔双対問題の最適値 主(双対)問題の最適解⇔双対(主)問題の限界価値 基底変数 z x1 x2 s1 s2定数項 x1 0104/5-2/5 20 x/5 2/5 30 z 1 0 012/5 2/5 240 偶然?. $(1)$ $&92;&92;hat&92;&92;mathbfA &92;&92;mathbfx = &92;&92;hat&92;&92;mathbfb$ かつ $&92;&92;mathbfx &92;&92;geq &92;&92;mathbf0$となるような$&92;&92;mathbfx &92;&92;in &92;&92;mathbbR^n$が存在する. 2. $$ 先ほど構築したような方法で,$&92;&92;hat&92;&92;mathbfb_0 &92;&92;hat&92;&92;mathbfy = 0$となるような$&92;&92;hat&92;&92;mathbfy$を見つけることができる.また,$&92;&92;epsilon$を0より大きい数にすると,$&92;&92;hat&92;&92;mathbfb_0 &92;&92;hat&92;&92;mathbfy > 0$となる.我々が考えている問題では,$z^* > 0$であるので,これは$&92;&92;alpha > 0$が成立しているときのみ可能である.先ほど示したように$&92;&92;hat&92;&92;mathbfy$は超平面の法線であるから,正ならば大きさを自由に変えることができる.よって,$&92;&92;alpha = 1$としても一般性を失わない.これは次式を満たす$&92;&92;mathbfy$. 2 1 次独立性. 数学におけるいくつもの重要な双対性はこの双対性の例の一般化とみることが出来、様々な方向に発展・進展を見せつつ研究されています。 詳細な説明. A⊤y = c y 0 Max. y1 + 双対 性 数学 y2 + y3 = 1 4y1 + y2 = 2 y1; y2; y3 0 双対定理:主問題の最大値=双対問題の最小値 10.

また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。 双対は 数学 や 物理学 をはじめとする多くの分野に表れる。 なお読みについて、双対を「そうたい」と読む流儀もあり「相対 (relative)」と紛らわしい。. . A,Bが論理式ならば、(A∧B)は論理式である。 5. A,Bが論理式ならば、(A∨B)は論理式である。 6. 残念なことに,この手法を使った最適化はたくさんのケースで非現実的で,GANsが通常用いられるような分野においても同様に非現実的である.前述の例では,1次元で10個の事象をとりうる確率変数を扱った.確率変数がとりうる事象の数は,確率変数の次元の数が増えるにしたがって指数関数的に増大する.たとえば画像を取り扱いたければ,次元は優に数千次元を超えることになる.これでは,$&92;&92;gamma$は次元が大きいので近似すらできない. しかしながら,実際には我々は最適輸送方法$&92;&92;gamma$を知りたいわけではない.知りたいのはただ1つの量,EMDのみである.同様に,WGANsにてgeneratorを学習するために必要となるのは,generatorが出力する分布$P_&92;&92;theta$を正しい分布$P_r$にするためのEMDのみである.学習を行うためには,$P_r$ と $P_&92;&92;theta$のみから計算される,EMDの勾配$&92; abla_P_&92;&92;theta &92;&92;mathrmEMD(P_r, P_&92;&92;theta)$が計算可能である必要がある.しかし直接的な方法では(次元が多いため,$&92;&92;gamma$を計算するのが大変で)難しい. 結論から言えば,EMDをより簡便に計算するほかの方法がある.あらゆる線形計画問題は,その問題を定式化する2つの方法がある.主形式(primal form)と,それに対応する双対形式(dual form)である. 変数間の関係式を変えることによって,最小化問題を最大化問題へと変形することができる.双対形式では,目的関数$&92;&92;tildez$は$&92;&92;mathbfb$に直接依存している.$&92;&92;mathbfb$は$P_r$ と $P_&92;&92;theta$を含んだものであるので,これがまさに我々が欲していたものである.この$&92;&92;tildez$が(主形式の方の)$z$の下界になることは,容易に示される. $$ z = &92;&92;mathbfc^T &92;&92;mathbfx &92;&92;geq &92;&92;mathbfy^T &92;&92;mathbfA &92;&92;mathbfx = &92;&92;mathbfy^T &92;&92;mathbfb = &92;&92;tildez $$ これは弱双対定理と呼ばれている.定理の名前から推察できるように,強双対定理というのも存在し,強双対定理は,双対問題に最適値$&92;&92;tildez$が存在す. 双対 性 数学 まずはじめに、おそらく感覚的に受け入れやすいであろう2つの数学的アイデア(原則1,2と呼びます)について示します。この二つが適当に組み合わさることで、多くの凸解析の概念や定理がある程度直観的に理解できます。 原則1: 点と線の双対性. 必要最小限の線形代数学の知識を取り敢えず学びたいという方は,本稿の. 双対基底と相反基底という類似の概念がどうちがうのか。迷っている。相反基底(reciprocalbases)とは結晶幾何学での基底をさす。ところが一方でまったく同じようなベクトル空間での双対ベクトル空間でも元のベクトル空間でのベクトル基底と積をつくると、1となるような基底を双対基底(dualbase.

主双対内点法 | Intelligence Architecture けんきうノート 現在、二次計画法などのソルバーとしては、 この主双対内分法を使ったソルバーが一般的のようです。 1. 双対問題を調べる - Qiita 2. 圏論という数学の分野において,双対性(そうついせい,英: duality )は圏 C の性質と反対圏 C op の双対的な性質の間の対応である.圏 C についてのステートメントが与えられると,各射の始域と終域を入れ替え,2つの射の合成の順序を入れ替えることによって,反対圏 C op についての対応する. 線形性は以下で見るように高校数学の様々な分野で登場します。大学の数学でも線形代数と呼ばれる線形性を土台とする数学を習います。 世の中は線形なもの非線形なものがあって, 線形なものは扱いやすく,非線形なものは扱いにくいのです。. よって,$g = - f$となり,制約条件は,$f(x_i) - f(x_j) &92;&92;leq &92;&92;mathbfD_i,j$ and $f(x_i) - f(x_j) &92;&92;geq -&92;&92;mathbfD_i,j$と書き換えられる.この制約は, $f(x_i)$ を連続関数としてみると,上下方向の勾配が制限されていることになる.ここではユークリッド距離を用いており,勾配は $ and $-1$で制限されていることになるだろう.この制.

命題変数P1,⋯,Pnと命題定数T,Fに関する論理式A(P1,⋯,Pn,T,F), B(P1,⋯,Pn,T,F)の間に、A(P1,⋯,Pn,T,F)⇒B(P1,⋯,Pn,T,F)という関係が成り立つものとします。このとき、A(¬P1,⋯,¬Pn,T,F)⇒B(¬P1,⋯,¬Pn,T,F)が成り立つため(演習問題にします)、対偶をとると、¬B(¬P1,⋯,¬Pn,T,F)⇒¬A(¬P1,⋯,¬Pn,T,F)を得ます。第1双対原理を用いてこれを言い換えると、BD(P1,⋯,Pn,T,F)⇒AD(P1,⋯,Pn,T,F)を得ます。これを第2双対原理(second principle of duality)や第2双対定理(second duality theorem)などと呼びます。. 前述の通り、双対問題を解くことで、 多くの線形計画問題の解を得ることができますが、 非線形問題の場合、双対問題を解いても 直接、主問題の解を計算することはできません。 しかし、この主問題と双対問題を 交互に実施することで、 徐々に最適値に近づけていくことで、 最適化を実施するアルゴリズムのことを 主双対内点法(primal-dual interior point method)といいます。 1. 強双対定理の証明のつづきは,元の線形計画問題に1つの新しい次元を導入して,$&92;&92;hat&92;&92;mathbfb$が凸錘のほんの近くにいるような問題を考える.そして,Frakasの補題より,ある$&92;&92;hat&92;&92;mathbfy$において,それに基づく超平面は$&92;&92;hat&92;&92;mathbfb$に任意に近づくことができる.これに弱双対定理を加えて,強双対性定理を証明する. 主問題の最適値(最小値)を$z^* = &92;&92;mathbfc^T &92;&92;mathbfx^* $とする.さらに次を定義する. ただし $&92;&92;epsilon, &92;&92;alpha &92;&92;in &92;&92;mathbbR$である. これはすなわち,次式を満たす$&92;&92;mathbfy$ and $&92;&92;alpha$が存在するということである. または次のようにも表せる. $$&92;&92;mathbfA^T &92;&92;mathbfy &92;&92;leq &92;&92;alpha &92;&92;mathbfc, &92;&92; &92;&92; &92;&92;mathbfb^T &92;&92;mathbfy > &92;&92;alpha(z^* - &92;&92;epsilon). 88)。 参考文献 1Nualart "Introduction to Malliavin Calculus" Amazon link. . 双対 性 数学 See full list on mathtrain.

主双対内点法 双対 性 数学 - 数理計画用語集 3. 行列$&92;&92;hat&92;&92;mathbfA &92;&92;in &92;&92;mathbbR^d &92;&92;times n$の列をベクトル$&92;&92;mathbfa_1$$&92;&92;mathbfa_2,. $&92;&92;epsilon > 0$の場合を考えると, 非負の解は存在せず, ($z^* $ がすでに最適値であるから) Farkasの補題の$(2)$に相当する. 最適化問題を勉強していると、 双対問題そうついもんだい (dual problem)という言葉が出てきます。 実は最近の凸最適化のソルバーなどが、 高速に問題を解けるようになったのは、 この双対問題という考えを使うことにより、 実現していることが多いようです。 今回、この双対問題の概要と、 なぜ双対問題を考えると、 最適化を解きやすくなるのかを 紹介したいと思います。. そこで、そうした「双対性」を矛盾なく表現できる「宇宙言語」たる数学上での発展が求められ、粒子を表す「点」としての定義に、長さを表す「ひも」としての定義を持ち込むことで、そうした現象がほぼうまく表現できること――しかしまだ完璧にでは. 「双対性」は、数学(空間と代数の双対性)、物理学(状態とオブザーバブルの双対性)、情報学(システムとその挙動性質の双対性)等を横断して広範に観察される数理現象である。本プロジェクトの双対性方面での研究は、そういった数学・物理・情報を横断する双対性を統合するための. Ax b 双対問題 Min.

双対問題を考えるメリットの一つとして最適性の簡単な証拠を提示できるというのがあります。 強双対定理のおかげで,求めた答えが正しいことを簡単に他人に納得させることができます(どうやって答えを求めたかという複雑な手順を説明する必要がない)。. これでやっと自信をもってEMDを計算するための双対形式への変換をすることができる.双対形式のところで示したように,$&92;&92;tildez^* = &92;&92;mathbfb^T &92;&92;mathbfy^* $(双対形式の最適値)が求めるEMDになる.次式を定義する. ただし, $&92;&92;mathbff, &92;&92;mathbfg &92;&92;in &92;&92;mathbbR^d$.これは$&92;&92;mathrmEMD(P_r, P_&92;&92;theta) = &92;&92;mathbff^T P_r + 双対 性 数学 &92;&92;mathbfg^T P_&92;&92;theta$を意味する. 双対形式の制約$&92;&92;mathbfA^T &92;&92;mathbfy &92;&92;leq &92;&92;mathbfc$を考える: ベクトル$&92;&92;mathbff$ and $&92;&92;mathbfg$の値は関数 $f$ and $g$として表現することができる.この表記を道いると,上記の制約は,すべての$i$について,$f(x_i) + g(x_j) &92;&92;leq &92;&92;mathbfD_i,j$と書ける. なぜ、この双対問題を考えるかといいますと、 この双対問題を考えることで、 対象の最適化問題を簡単に解くことができることが 多いためです。 例えば、上記の双対問題には、 下記の双対定理という定理が成り立ちます。 つまり、解きたい主問題の最適値を計算するのが難しい時、 その双対問題を解くことで、主問題を解くことができることがあります。 (ちなみに相対問題を解くと、主問題も解くことができるのは、 線形計画法のみのようです) 例えば、主問題の変数がたくさんあり、制約条件が少ない問題の場合、 双対問題の方が変数が少なくできます。 すると、主問題より楽に解ける可能性が高いのです。 双対 性 数学 また、もう一つのメリットとしては、 最適性の簡単な証拠を提示できるというのがあります。 ある最適化問題の結果が、本当に最適値かどうかを確認する際に、 上記の双対原理を使うことで、 主問題の最小値と双対問題の最大値は一致した場合、 その結果は最適値であると証明することができます。. 全ての線形計画は以下の等式標準形と呼ばれる形で表現できます。 変数 x を動かして目的関数 c⊤x を最小にしたいという問題です。 A は m×n 行列,x,c は n 次元縦ベクトル,b は m 次元縦ベクトルです。 x≥0 というのは xの各成分が非負という意味です。 ちなみに,線形計画法は大学入試でもときどき登場します。→領域における最大・最小問題(線形計画法). 特集/弦理論と数学 混成弦・ii 型弦双対性の一側面 立川裕二 1.

世界大百科事典 第2版 - 双対の用語解説 - 数学の理論において,いくつかの概念を二つずつ対応させるとき,定理が1対となって,そのおのおのは同じ構造をもつことがときどき起こる。この現象を双対性といい,対応する概念や定理を互いに他の双対という。例えば,平面射影幾何学で,“点”. つまり,両方の問題の最適解 x∗,y∗ を取ってくれば弱双対定理の不等式の等号を満たす(c⊤x∗=b⊤y∗)というわけです。 注:「問題P,問題Dがどちらも実行可能解を持つならば」を「問題Pまたは問題Dに最適解が存在するならば」に変えても成立します。. 空間と環の間の双対性の哲学に沿った理論と考えられるものの中から重要な理論をいくつかあげ. $i=j$の場合は$&92;&92;mathbfD_i,i = 0$であるから$g(x_i) &92;&92;leq -f(x_i)$となる.ここで, $P_r$ and $P_&92;&92;theta$は非負であるから,目的関数(EMD)を最大化するには,$&92;&92;sum_i &92;&92;mathbff_i + &92;&92;mathbfg_i $が可能な限り大きい必要がある.そしてこの和は最大で0となり,このとき$g = - f$である.これは、ほかの制約に影響を与えず真のままである.よって,$g(x_i) < - f(x_i)$を選ぶことは,図5を見ればわかる通り,ほかの制約に影響を与えずに,$g = - f$を与えることで目的関数の値を増加させることができるので,意味がない.

$(2)$ $&92;&92;hat&92;&92;mathbfA^T &92;&92;hat&92;&92;mathbfy &92;&92;leq &92;&92;mathbf0$ かつ $&92;&92;hat&92;&92;mathbfb^T. 双対問題はある最適化問題(主問題)に対して、 双対 性 数学 補集合になる最適化問題のことを指します。 例えば、下記のような線形計画問題の場合、 その双対問題は、下記のような問題を指します。 このような双対問題は、 基本的にすべての最適化問題に存在するのですが、 複雑な最適化問題の双対問題は、上記のように あまり式の対称性が無いものもあります。 例えば、下記の最適化問題において、 その双対問題は下記のようになります。. 命題変数P1,⋯,Pnと命題定数T,Fに関する論理式をA(P1,⋯,Pn,T,F)と表記します。この論理式において、P1,⋯,Pnを¬P1,⋯,¬Pnに、T,FをF,Tにそれぞれ置き換えることで得られる論理式をA(¬P1,⋯,¬Pn,F,T)と表記します。また、論理式A(P1,⋯,Pn,T,F)中の∧を∨に、∨を∧にそれぞれ置き換えて得られる論理式をA∗(P1,⋯,Pn,T,F)と表記します。論理式A(P1,⋯,Pn,T,F)の双対をAD(P1,⋯,Pn,T,F)で表すとき、双対の定義より、AD(P1,⋯,Pn,T,F)=A∗(P1,⋯,Pn,F,T)という関係が成り立ちます。 以上の2つの例が示唆するように、一般に、命題変数P1,⋯,Pnと命題定数T,Fに関する論理式A(P1,⋯,Pn,T,F)が与えられたときに、AD(P1,⋯,Pn,T,F)⇔¬A(¬P1,⋯,¬Pn,T,F)という関係が成り立ちます。つまり、論理式A(P1,⋯,Pn,T,F)の双対は、その論理式の命題変数P1,⋯,Pnを¬P1,⋯,¬Pnにそれぞれ置き換えて得られる論理式の否定と同値になります。これを第1双対原理(first principle of duality)や第1双対定理(first duality theorem)などと呼びます。以下ではこれを証明します。 論理式Aが論理演算子を含まない場合、すなわちAが命題変数や命題定数である場合、主張は明らかに成り立ちます。具体的には、A(P1,⋯,Pn,T,F)=Piであるとき、AD(P1,⋯,Pn,T,F)=Pi¬A(¬P1,⋯,¬Pn,T,F)=¬¬Piとなりますが、二重否定より両者は同値です。また、A(P1,⋯,Pn,T,F)=Tであるとき、AD(P1,⋯,Pn,T,F)=F¬A(¬P1,⋯,¬Pn,T,F)=¬Tとなりますが、命題定数の定義より両者は同値です。A(P1,⋯,Pn,T,F)=Fの場合も同様です。 そこで以降では、m(≥1)個未満の論理演算子を含む任意の論理式に関して主張が成り立つものと仮定した上で、m個の論理演算子を含む論理式A(P1,⋯,Pn,T,F)に関して主張が成り立つことを示します。論理式の定義より、この論理式A(P1,⋯,Pn,T,F)に関して以下の3通りの可能性があります。 1つ目の可能性は、論理式A(. 双対性とは「そうついせい」と読む。数学を大学で学ばれた方は射影幾何学でその概念を学ばれると思う。私の知っていた双対性とは射影幾何学に関係したものであった。ところが、最近武藤徹先生から数学メモがメールで送られて来たのだが、それが何に関係した事柄なのかわからなったので.

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